En este caso nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $4$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\frac{1}{1+ax^{2}}$, para algún $a \neq 0$. Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: $p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4$ Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ y $f''''(0)$. Ya te adelanto que tenemos por delante un problema bastante cuentoso, pero vamos con confianza jaja $f(x) = \frac{1}{1+ax^{2}}$ $f(0) = 1$ $f'(x) = -\frac{2ax}{(1+ax^{2})^2}$

Aclaración: Si te perdiste en esta derivada, pensalo con regla del cociente y seguro te va a resultar más fácil :) Ahora para la derivada segunda vamos también con regla del cociente y nos queda... $f''(x) = - \frac{2a(1+ax^{2})^2 - 2ax \cdot 2(1+ax^{2}) \cdot 2ax}{(1+ax^{2})^4}$

$f''(0) = - 2a$ Consejo acá, freno un segundo. Antes de lanzarnos a buscar la derivada tercera, tratemos de reacomodar un poco la expresión de $f''(x)$, pensá que eso seguro después nos facilite calcular la siguiente derivada después. Si sacamos factor común en el numerador $(1+ax^2)$ nos queda:

Ahora simplificamos:

Distributivas:

Ahora si, mejoró bastante esto (ponele). Buscamos ahora la derivada tercera usando regla del cociente:

Y si evaluamos en $x=0$ nos queda:

Ahora nos pasa lo mismo que antes, si queremos derivar de nuevo no nos lancemos directo a calcular la derivada. Tratemos de reacomodar un poco esta expresión para que nos sea lo más fácil posible calcular la derivada después. Podemos arrancar sacando factor común $(1+ax^2)^2$ en el numerador y obtenemos:

Simplificamos:

Ahora distributivas y reescribimos un poco ese numerador:

$f'''(x) = - \left[ \frac{-8a^2x - 8a^3x^3 - 12a^2x + 24a^3x^3}{(1+ax^2)^4} \right]$ $f'''(x) = - \left[ \frac{-20a^2x + 16a^3x^3}{(1+ax^2)^4} \right]$ $f'''(x) =  \frac{20a^2x - 16a^3x^3}{(1+ax^2)^4}$

Ahora mejoró la situación y ya estamos en condiciones de calcular la última derivada que nos queda! Uffff, este ejercicio más que de Taylor es de practicar derivadas y factorización jajaja

Y si evaluamos en $x=0$ obtenemos:

Bueno gente, lo logramos 🥹 

Recapitulando, la estructura de nuestro Taylor era esta:

y obtuvimos que:

Reemplazamos y nos queda:

$p(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-2a}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{20a^2}{4!}x^4$ Simplificamos: $p(x) = 1 - ax^2 + \frac{5a^2}{6}x^4$

y este finalmente era el polinomio de Taylor que estábamos buscando 😅

Después de semejante quilombo, te voy a proponer algo que va a hacer que todo lo que hicimos hasta recién tenga sentido 🥰 Ahí recién acabo de graficar en GeoGebra la función $f$ y el polinomio $p(x)$ que obtuvimos. Te dejo acá para que te entretengas modificando el parámetro $a$ con la barrita y confirmes que efectivamente el polinomio de Taylor que conseguimos siempre aproxima muy bien a la función cerca de $x=0$ 👉 https://www.geogebra.org/graphing/m5xqmedt