En este caso nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $4$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\frac{1}{1+ax^{2}}$, para algún $a \neq 0$. Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: $ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 $ Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ y $f''''(0)$. Ya te adelanto que tenemos por delante un problema bastante cuentoso, pero vamos con confianza jaja $ f(x) = \frac{1}{1+ax^{2}} $ $ f(0) = 1 $ $ f'(x) = -\frac{2ax}{(1+ax^{2})^2} $

$ f'(0) =  0 $

Aclaración: Si te perdiste en esta derivada, pensalo con regla del cociente y seguro te va a resultar más fácil :) Ahora para la derivada segunda vamos también con regla del cociente y nos queda... $ f''(x) = - \frac{2a(1+ax^{2})^2 - 2ax \cdot 2(1+ax^{2}) \cdot 2ax}{(1+ax^{2})^4} $

$ f''(x) = - \frac{2a(1+ax^{2})^2 -  8a^2x^2\cdot (1+ax^{2})}{(1+ax^{2})^4} $

$ f''(0) = - 2a $ Consejo acá, freno un segundo. Antes de lanzarnos a buscar la derivada tercera, tratemos de reacomodar un poco la expresión de $f''(x)$, pensá que eso seguro después nos facilite calcular la siguiente derivada después. Si sacamos factor común en el numerador $(1+ax^2)$ nos queda:

$ f''(x) = - \frac{(1+ax^{2}) \cdot [2a(1+ax^2) - 8a^2x^2]}{(1+ax^{2})^4} $

Ahora simplificamos:

$ f''(x) = - \frac{2a(1+ax^2) - 8a^2x^2}{(1+ax^{2})^3} $

Distributivas:

$ f''(x) = - \frac{2a + 2a^2x^2 - 8a^2x^2}{(1+ax^{2})^3} $

$ f''(x) = - \frac{2a -4a^2x^2}{(1+ax^{2})^3} $

Ahora si, mejoró bastante esto (ponele). Buscamos ahora la derivada tercera usando regla del cociente:

$f'''(x) = - \frac{-8a^2 x (1+ax^2)^3 - (2a-4a^2x^2) \cdot 3 \cdot (1+ax^2)^2 \cdot 2ax}{(1+ax^2)^6} $

Y si evaluamos en $x=0$ nos queda:

$f'''(0) = 0$

Ahora nos pasa lo mismo que antes, si queremos derivar de nuevo no nos lancemos directo a calcular la derivada. Tratemos de reacomodar un poco esta expresión para que nos sea lo más fácil posible calcular la derivada después. Podemos arrancar sacando factor común $(1+ax^2)^2$ en el numerador y obtenemos:

$ f'''(x) = - \left[\frac{(1+ax^2)^2 \left[ -8a^2 x (1+ax^2) - 6ax (2a-4a^2x^2) \right]}{(1+ax^2)^6} \right] $

Simplificamos:

$ f'''(x) = - \left[ \frac{-8a^2 x (1+ax^2) - 6ax (2a-4a^2x^2)}{(1+ax^2)^4} \right] $

Ahora distributivas y reescribimos un poco ese numerador:

$ f'''(x) = - \left[ \frac{-8a^2x - 8a^3x^3 - 12a^2x + 24a^3x^3}{(1+ax^2)^4} \right] $ $ f'''(x) = - \left[ \frac{-20a^2x + 16a^3x^3}{(1+ax^2)^4} \right] $ $ f'''(x) =  \frac{20a^2x - 16a^3x^3}{(1+ax^2)^4} $

Ahora mejoró la situación y ya estamos en condiciones de calcular la última derivada que nos queda! Uffff, este ejercicio más que de Taylor es de practicar derivadas y factorización jajaja

$ f^{IV}(x) = \frac{(20a^2 - 48a^3x^2)(1+ax^2)^4 - (20a^2x - 16a^3x^3) \cdot 4 (1+ax^2)^3 \cdot 2ax}{(1+ax^2)^8} $

Y si evaluamos en $x=0$ obtenemos:

$ f^{IV}(0) = 20a^2$

Bueno gente, lo logramos 🥹 

Recapitulando, la estructura de nuestro Taylor era esta:

$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 $

y obtuvimos que:

$ f(0) = 1 $

$ f'(0) =  0 $

$ f''(0) = - 2a $

$ f'''(0) = 0 $

$ f^{IV}(0) = 20a^2$

Reemplazamos y nos queda:

$ p(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-2a}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{20a^2}{4!}x^4 $ Simplificamos: $ p(x) = 1 - ax^2 + \frac{5a^2}{6}x^4 $

y este finalmente era el polinomio de Taylor que estábamos buscando 😅

Después de semejante quilombo, te voy a proponer algo que va a hacer que todo lo que hicimos hasta recién tenga sentido 🥰 Ahí recién acabo de graficar en GeoGebra la función $f$ y el polinomio $p(x)$ que obtuvimos. Te dejo acá para que te entretengas modificando el parámetro $a$ con la barrita y confirmes que efectivamente el polinomio de Taylor que conseguimos siempre aproxima muy bien a la función cerca de $x=0$ 👉 https://www.geogebra.org/graphing/m5xqmedt